Persmaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan Persamaan Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.

Misalnya:

Parhatikan garis bilangan berikut.

Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6

Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6 

jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3

Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.

Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 

Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.

Misalnya seperti berikut.

Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.

 

Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.

Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.

Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

Jawaban:

Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 

1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

   (*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 - 5 = -2

   (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}

2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

   (*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 - 3 

                                       2x = 2  <==>  x = 1

   (**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3

                                         2x = -8  <==> x = -4

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}

3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1.Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.

Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1

Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1

Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-1

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    (x + 1) + 2x = 7

                   3x = 7 - 1

                   3x = 6

                     x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)

(**) untuk x < -1

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    -(x + 1) + 2x = 7

        -x - 1 + 2x = 7

                      x = 7 + 1                 

                      x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

 4.  

Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.

Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3

Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3

Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-4/3

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    (3x + 4) = x - 8

        3x - x = -8 - 4

             2x =-12

               x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)

(**) untuk x < -4/3

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    -(3x + 4) = x - 8

        -3x - 4 = x -8

         -3x - x = -8 + 4 

              -4x = -4

                 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)

Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.

 Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .

Pertidaksamaan  mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.

Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.